共役関数の定義・例・性質をまとめてみた【数理最適化・数学】

投稿日時: 2023/03/08 17:11

最終更新日時: 2023/03/08 17:11

どうも，京大博士課程のざるご( @zalgo3 )です． この記事では，共役関数の定義や性質をまとめていきます．

共役関数の定義

定義

真凸関数 $f\colon \R^n \to ( -\infty , +\infty ]$に対して

によって定義される関数 $f^\ast \colon \R^n \to [ -\infty , +\infty ]$を $f$の共役関数という．

共役関数の例

例

• (ノルムの共役関数) $f(x) = \| x \|$の共役関数は， $f^\ast(\xi) = \begin{cases} 0 &\quad \| \xi \|_\ast \leq 1 \\ +\infty &\quad \| \xi \|_\ast > 1 \end{cases}$ である．ただし，$\| \xi \|_\ast = \sup_{ \| x \| \leq 1} x^\top \xi$は双対ノルムである． ※双対ノルムの例：
  • $\ell_1$ノルム↔ $\ell_\infty$ノルム
  • $\ell_p$ノルム↔ $\ell_q$ノルム (ただし， $1/p + 1/q = 1$)

共役関数の性質

よく使う性質をまとめます．他にもあれば，コメントなどで補足してくれると嬉しいです．

性質

• (分離可能な和の共役関数) $f(x_1, x_2) = g(x_1) + h(x_2)$の共役関数は， $f^\ast ( \xi_1, \xi_2 ) = g^\ast(\xi_1) + h^\ast(\xi_2)$
• (スカラー倍の共役関数) ($\alpha > 0$)
  • $f(x) = \alpha g(x)$ の共役関数は， $f^\ast (\xi) = \alpha g^\ast (\xi / \alpha)$
  • $f(x) = \alpha g(x / \alpha)$ の共役関数は， $f^\ast (\xi) = \alpha g^\ast (\xi)$
• (アフィン関数との和の共役関数) $f(x) = g(x) + a^\top x + b$ の共役関数は， $f^\ast (\xi) = g^\ast (\xi - a) - b$
• (平行移動の共役関数) $f(x) = g(x - b)$ の共役関数は， $f^\ast (\xi) = b^\top \xi + g^\ast (\xi)$
• (全単射な線形変換の共役関数) $f(x) = g(A x)$ の共役関数は， $f^\ast (\xi) = g^\ast ( A^{- \top} \xi)$
• (極小畳み込みの共役関数) $f(x) = \inf_{u + v = x} \{ g(u) + h(v) \}$の共役関数は， $f^\ast ( \xi ) = g^\ast(\xi) + h^\ast(\xi)$