共役関数の定義・例・性質をまとめてみた【数理最適化・数学】

研究

どうも,京大博士課程のざるご( @zalgo3 )です.
この記事では,共役関数の定義や性質をまとめていきます.

共役関数の定義

定義

真凸関数 \( f\colon \R^n \to ( -\infty , +\infty ] \)に対して
\[
f^\ast ( \xi ) := \sup_{x \in \R^n} \{ x^\T \xi – f(x) \}
\]
によって定義される関数 \( f^\ast \colon \R^n \to [ -\infty , +\infty ] \)を \( f \)の共役関数という.

共役関数の例

  • (ノルムの共役関数) \( f(x) = \| x \| \)の共役関数は,
    \[ f^\ast(\xi) = \begin{cases} 0 &\quad \| \xi \|_\ast \leq 1 \\ +\infty &\quad \| \xi \|_\ast > 1 \end{cases} \]
    である.ただし,\( \| \xi \|_\ast = \sup_{ \| x \| \leq 1} x^\T \xi \)は双対ノルムである.
    ※双対ノルムの例:
    • \( \ell_1 \)ノルム↔ \( \ell_\infty \)ノルム
    • \( \ell_p \)ノルム↔ \( \ell_q \)ノルム (ただし, \( 1/p + 1/q = 1 \))

共役関数の性質

よく使う性質をまとめます.他にもあれば,コメントなどで補足してくれると嬉しいです.

性質

  • (分離可能な和の共役関数) \( f(x_1, x_2) = g(x_1) + h(x_2) \)の共役関数は, \( f^\ast ( \xi_1, \xi_2 ) = g^\ast(\xi_1) + h^\ast(\xi_2) \)
  • (スカラー倍の共役関数) (\( \alpha > 0 \))
    • \( f(x) = \alpha g(x) \) の共役関数は, \( f^\ast (\xi) = \alpha g^\ast (\xi / \alpha) \)
    • \( f(x) = \alpha g(x / \alpha) \) の共役関数は, \( f^\ast (\xi) = \alpha g^\ast (\xi) \)
  • (アフィン関数との和の共役関数) \( f(x) = g(x) + a^\T x + b \) の共役関数は, \( f^\ast (\xi) = g^\ast (\xi – a) – b \)
  • (平行移動の共役関数) \( f(x) = g(x – b) \) の共役関数は, \( f^\ast (\xi) = b^\T \xi + g^\ast (\xi) \)
  • (全単射な線形変換の共役関数) \( f(x) = g(A x) \) の共役関数は, \( f^\ast (\xi) = g^\ast ( A^{- \T} \xi) \)
  • (極小畳み込みの共役関数) \( f(x) = \inf_{u + v = x} \{ g(u) + h(v) \} \)の共役関数は, \( f^\ast ( \xi ) = g^\ast(\xi) + h^\ast(\xi) \)

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